Les probabilités conditionnelles

Probabilités et statistiques - Mathématiques Spécialité

Exercice 1 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
25% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 10% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :
  • 3% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
  • 5% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
  • 2% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :
  • \( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
  • \( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
  • \( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
  • \( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_2) \).
Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi soit défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_3 \) ?
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"F_1": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_2": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_3": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_3 \) et n'est pas défectueux »
Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 2 : Tirer une boule verte au deuxième tirage sans remise

Dans une urne contenant 4 boules vertes, 4 boules bleues et 6 boules rouges, on tire 2 boules sans remise, quelle est la probabilité de tirer une boule verte au 2e tirage ?
On donnera la réponse sous la forme d'un entier relatif ou d'une fraction.

Exercice 3 : Calcul de probabilités conditionnelles à partir d'un tableau à double entrée

Soit le tableau d'effectifs suivant :
{"header_top": ["\\(A\\)", "\\(\\overline{A}\\)", "Total"], "header_left": ["\\(B\\)", "\\(\\overline{B}\\)", "Total"], "data": [[29, "?", "?"], [18, 22, "?"], ["?", 45, "?"]]}
Calculer la probabilité \(P_{\overline{A}} (B)\).
On donnera le résultat sous la forme d'une fraction.

Exercice 4 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (2 branches)

Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés.
Ce sondage révèle que 70% des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci, 25% pratiquent la natation.
Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 50% pratiquent la natation.

On choisit un vacancier au hasard. On considère les événements suivants :
  • - S : « le vacancier choisi fréquente une salle de sport »
  • - N : « le vacancier choisi pratique la natation ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(\overline{S}) \).
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"S": {"N": {"value": " "}, "\\overline{N}": {"value": " "}, "value": " "}, "\\overline{S}": {"N": {"value": " "}, "\\overline{N}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le vacancier choisi fréquente une salle de sport et pratique la natation »
Calculer la probabilité \( p \) de cet évènement.
On donnera la réponse sous la forme \(p = ...\).

Exercice 5 : Complétion d'arbre - remplir en totalité

Tous les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à \(10^{-4}\).
Un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage d'une maladie chez une espèce animale et fournit les renseignements suivants : « la population testée comporte \(7\%\) d'animaux malades.
Si un animal est malade, le test est positif dans \(96\%\) des cas ; si un animal n'est pas malade, le test est négatif dans \(92\%\) des cas ».
On note \(M\) l'événement « l'animal est malade », et \(T\) l'événement « le test est positif ».
Remplissez l'arbre de probabilité ci-dessous.

Compléter l'arbre de probabilité correspondant à la situation.
{"M": {"T": {"intersection": " ", "value": " "}, "\\overline{T}": {"intersection": " ", "value": " "}, "value": " "}, "\\overline{M}": {"T": {"intersection": " ", "value": " "}, "\\overline{T}": {"intersection": " ", "value": " "}, "value": " "}}
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