Probabilités et statistiques - Spécialité

Les probabilités conditionnelles

Exercice 1 : Lecture d'arbre - déterminer proba du test

Un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage d'une maladie chez une espèce animale. Le pourcentage d'animaux malades dans la population est connu.
On note \(M\) l'événement « l'animal est malade » et \(T\) l'événement « le test est positif ».

En se servant de l'arbre ci-dessous, déterminer la probabilité qu'un animal soit malade lorsque le test est positif.
{"M": {"T": {"value": 0.98}, "\\overline{T}": {"value": 0.02}, "value": 0.26}, "\\overline{M}": {"T": {"value": 0.07}, "\\overline{T}": {"value": 0.93}, "value": 0.74}}
On donnera la réponse sous la forme d'un arrondi à \(10^{-4}\).

Exercice 2 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (2 branches)

Un sondage a été effectué auprès de vacanciers sur leurs pratiques sportives pendant leurs congés.
Ce sondage révèle que 30% des vacanciers fréquentent une salle de sport pendant leurs congés et parmi ceux-ci, 75% pratiquent la natation.
Parmi les vacanciers qui ne fréquentent pas une salle de sport, 30% pratiquent la natation.

On choisit un vacancier au hasard. On considère les événements suivants :
  • - S : « le vacancier choisi fréquente une salle de sport »
  • - N : « le vacancier choisi pratique la natation ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(\overline{S}) \).
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"S": {"N": {"value": " "}, "\\overline{N}": {"value": " "}, "value": " "}, "\\overline{S}": {"N": {"value": " "}, "\\overline{N}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le vacancier choisi ne fréquente pas de salle de sport et ne pratique pas la natation »
Calculer la probabilité \( p \) de cet évènement.
On donnera la réponse sous la forme \(p = ...\).

Exercice 3 : Lecture d'énoncé - test médical

Un laboratoire de recherche met au point un test de dépistage d'une maladie chez une espèce animale et fournit les renseignements suivants : « la population testée comporte \(25\%\) d'animaux malades.
Si un animal est malade, le test est positif dans \(90\%\) des cas ; si un animal n'est pas malade, le test est négatif dans \(86\%\) des cas ».
On note \(M\) l'événement « l'animal est malade », et \(T\) l'événement « le test est positif ».
Déterminer \( P\left(M\right) \)
Déterminer \( P_M\left(T\right) \)
Déterminer \( P_\overline{M}\left(T\right) \)

Exercice 4 : Probabilité conditionnelle en situation concrète avec un tableau rempli, questions en langage mathématique

Dans un collège de 1000 élèves, on a constaté que :
  • - 39% font du tennis
  • - 57% font du handball et, parmi eux, 20% font aussi du tennis
On note :
  • - S1 : l’événement « l'élève fait du handball »
  • - S2 : l’événement « l'élève fait du tennis »
On donnera les informations sous forme d'un tableau :
Pratique le handballNe pratique pas le handballTotal
Pratique le tennis\(114\)\(276\)\(390\)
Ne pratique pas le tennis\(456\)\(154\)\(610\)
Total\(570\)\(430\)\(1000\)

 
Indiquer la probabilité \(P_{}(S1) \).
Indiquer la probabilité \( P_{S1}(S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(S1 \cap S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(S1 \cup S2) \).
Indiquer la probabilité \( P(\overline{S1}) \).

Exercice 5 : Calculer des probabilités conditionnelles en situation concrète

Dans un club de vacances de \( 1\:000\) clients, on a constaté que \( 48\:\% \) des vacanciers pratiquent le golf et, parmi eux, \( 30\:\% \) pratiquent aussi le tennis. \( 40\:\% \) des vacanciers pratiquent le tennis.
On croise au hasard un vacancier du club.
On note \( G \) : l’événement « le vacancier pratique le golf » et \( T \) : l’événement « le vacancier pratique le tennis »

Compléter le tableau suivant :
{"data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"], ["?", "?", "1000"]], "header_top": ["Pratiquent le Golf", "Ne pratiquent pas le Golf", "Total"], "header_left": ["Pratiquent le Tennis", "Ne pratiquent pas le Tennis", "Total"]}
Déterminer \( p(T) \).
Déterminer \( p_{G}(T) \).
Déterminer \( p(G \cap T) \).
Déterminer \( p(G \cup T) \).
On rencontre un vacancier pratiquant le tennis, déterminer la probabilité qu'il pratique aussi le golf.
On donnera un résultat arrondi au millième.
Revenir au choix du niveau
False